- 組木屋 上田
ペンローズタイルとは（その３）
「ペンローズタイルとは（その１）」「ペンローズタイルとは（その２）」という記事で、ペンローズタイルの特徴、「P1,P2,P3」の３種類があること、「P1」について、「P2」について、「強非周期充填」「マッチングルール」「膨張収縮」「MLD」などの概念について、ざっと説明をし、最後に「P2」から「P3」を導出する方法を示した。
その続きで、「P3」について説明していく。
・ペンローズタイル P３（シンとファット）
現在「ペンローズタイル」として一番よく目にするのは、２種類の菱形タイルによる「P3（シンとファット）」だと思われる。ネットで画像検索すると「P3」のパターンが一番多く表示されるかと思う。
ネットで見られる、タイルを並べたパターン（充填形）を示した図では、マッチングルールが省略されていることが多い。上図では「マッチングルール」も重ねて表示したものを示した。どこもルールを破らずに充填されている。
（マッチングルールを破った並べ方をしたものでも「ペンローズタイル」として紹介されていることがしばしばあるので、注意して見てみていただきたい。）
２種類の菱形を区別するのに、英語で「細い」を意味する「シン（thin）」と、「太い」を意味する「ファット（fat）」で呼び分けるが、太い方は「シック（thick）」と呼ばれることもあるよう。
・「P3」のマッチングルールと形状
「マッチングルール」の表記方法は他にもいろいろあるのだが、上図のライン（円弧）は、いろいろな文献やサイトで見たものを参考にして、一応、組木屋独自で作った描き方で、「シン」の中央で２本の円弧が接するように設定している。
「P2（カイトとダート）」の黄金分割による美しいマッチングルールと比べると、円弧の半径が若干ややこしい数値になってしまうが、これはこれでなかなか面白いと思っている。水色の円弧で、小さな円がたくさん作られるのだが、この円の位置が他のプロトタイルセットに変換したときに、組木屋で「核」と呼んでいる位置に来たりする。（「K3」の記事を書くときに、もう少し詳しく説明する予定。）
上図の下側には、２種類の菱形の形状（寸法や角度）を示している。角度はすべて３６°の倍数。辺の長さはすべて同じ。（「β」という記号は組木屋独自に置いたもの。これについても、またいつか別の記事を書く予定。）
・「P３」の φ倍膨張・１/φ倍収縮 置換ルール
「ペンローズタイル P1・P2」のところでも説明したが、「P３」も同様に「膨張・収縮（細分割）」という操作をして、サイズの違うタイルに「置換」することができる。
上図で、黒線のタイルのサイズを基準として考えると、青線のタイルのサイズはφ倍になっている。
これで「１：φ」の「置換ルール」を示しているが、一般的に「１：φのS乗（Sは整数）」の置換が可能。
・「P3」と「P1」の変換ルール
以下に「P3」と「P1」で互いに変換できること、さらにいろいろなサイズでできることを示す。
上図に「ペンローズタイルP1」から「P3」を導出する方法のひとつを示す。
「P1」のプロトタイルセットに緑線を描き込んで平面充填を行うと、右図の緑線で示される「P3」の充填形が得られる。
「P3」の辺長を「１」としたときに「P1」の辺長は「β」となっている。（「β」がここでも役に立つ。）
つまり、辺長の比でいうと『「P3」：「P1」＝１：β 』の変換ができることを示している。
次に上図で『「P3」：「P1」＝ φ：β 』の変換を示す。
「P1」はそのままで「P3」をφ倍置換した充填形を重ねて表示したことに相当。
さらに上図で『「P3」：「P1」＝ φ^2：β 』の変換を示す。
このサイズで変換したときに、「P1」の星とボートとダイヤのなかの点（組木屋で「核」と呼んでいる点）と「P3」にマッチングルール（上図では省略しているけど）を描き込んだ時の水色円の中心とが１対１で対応することになる。
さらにさらに『「P3」：「P1」＝ φ^3：β 』の変換を示す。
要は「P3」をφ倍置換し「P1」と重ねて表示する、という操作を順番に繰り返したことになる。
ここまでくると、一般的に『「P3」：「P1」＝ φ^S：β （Sは整数）』という変換が可能だろうな、ということが見えてくる。
タイルのサイズを変える「置換ルール」と、別のプロトタイルセットに変える「変換ルール」とを組み合わせると、いろいろなプロトタイルセットの充填形を、いろいろなサイズで作図することができるようになって、便利。
ここまで「ペンローズタイル P1,P2,P3 」について互いに変換できる方法を説明したが、互いに変換可能な（MLDの関係にある）プロトタイルセットは他にもある。ペンローズタイルと互いに変換できる仲間たちを「MLDクラス＝ペンローズ」と呼んだりする。
ということで、次は「MLDクラス＝ペンローズ」の仲間たちを紹介する記事を書こうと思う。
参考文献・URL
・英語版ウィキペディア「Penrose tiling」
・英語版ウィキペディア「List of aperiodic sets of tiles」
・マーチン・ガードナー著「別冊日経サイエンス マーチン・ガードナーの数学ゲームⅢ［新装版]」
・谷岡一郎著「エッシャーとペンローズ・タイル」
など
関連記事
・「組木屋たいる」のまとめページ
・周期充填と非周期充填と強非周期充填
・マッチングルールとは
・膨張と収縮（細分割）と置換ルール
・MLDと変換ルール
・３種類の充填形「表」と「裏」と「輪」
・置換および変換のサイズ「S」と「世代」
などを順次書いていくつもり。
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