- 組木屋 上田
「K3」の形状と「K3短長比（β）」という値について
前回、組木屋たいる「K3シリーズ」について大まかに説明した。
ここでは、「K3」の形状を説明するとともに、組木屋で勝手に置いた記号「K3短長比（β）」という値について説明していく。
「K3」の形状（角度と寸法）を上図に示す。
まず角度について。
他のペンローズタイルの仲間はたいてい３６°の倍数で構成された多角形だが、「K3」には９０˚、１２６˚といった角度があり、半分の１８˚の倍数にはなっているが３６°の倍数ではない。（９０˚のタイルを使って五回対称な平面充填ができる、というのがけっこう意外な感じがした。）
次に辺の寸法について。
「K3」のプロトタイルの辺寸法は２種類あり、短い辺を「１」とすると、長い辺は「1.90211303…」という値（無理数）になる。とても中途半端な値なので、組木屋ではこの値を記号「β（ベータ）」と置き、「K3短長比」と呼ぶことにした。「Ｋ３における短辺に対する長辺の比」という意味である。
「黄金比（φ）」を使うと「β＝√（φ＋２）」と表すことができる。または、三角関数を使うと「β＝２sin（７２˚）」もしくは「β＝２cos（１８˚）」と表せる。（←これらの関係を求めるのにかなりの苦戦を強いられた。）
はじめは「K3」の形状を説明するために仕方なしに置いた、この「K3短長比（β）」という記号が、実はなかなかに便利で、興味深い数値であることに気が付いた。
正五角形の寸法を考えるとき、対角線を引くとあちらこちらに「黄金比（φ）」が現れてすっきりと表せることは有名だと思うが、高さや、内接円・外接円の半径などを求めようとすると、平方根（√）もしくは三角関数（sin,cos）を使ってかなりややこしい値となってしまう。ところが、「K3短長比（β）」を使うと平方根も三角関数も使わずに、いろいろな寸法がすっきりと表せる。
１辺の長さが「１」の正五角形を考える。（「K3」の大きい正五角形を1/β倍したもの。）
「K3短長比（β）」を使うと、正五角形の高さ、内接円・外接円の半径は、図示のように、平方根や三角関数を使わずに表すことができる。
また、「K3短長比（β）」を使ってペンローズタイル「P2」「P3」「ロビンソンの三角形」の寸法を表すと下の図のようになる。
さらに、「P1」と「P3」の変換を考えるときにも「β」という値が活躍する。
上図では『「P3」：「P1」＝ φ：β 』の変換を示しているが、一般的に『「P3」：「P1」＝ φ^S：β （Sは整数）』という変換が可能。
以上、「K3短長比（β）」について、それがなかなかに興味深い数値である、ということの説明でした。
ひょっとしたら、もっと面白い性質があるかもしれないので、もし発見された方は組木屋までお知らせ頂けると幸いです。
次は、「マッチングルール」について、いろいろと考えたことを説明する記事を書こうかと思います。
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・周期充填と非周期充填と強非周期充填
・K3短長比「β」という値について（このページ）
・マッチングルールとは
・膨張と収縮（細分割）と置換ルール
・MLDと変換ルール
・３種類の充填形「表」と「裏」と「輪」
・置換および変換のサイズ「S」と「世代」
・１方向並進周期充填（帯充填）という概念
などを順次書いていくつもり。